Военкомат направил в психбольницу.
К каким последствиям приведет отказ. применима ли Статья 12. Отказ от лечения закона "О психиатрической помощи и гарантиях прав граждан при её оказании"?

Психбольница - это не есть плохо.
Вас же не в стражное отделение поместить хотят?
Скорее всего, доктор просто хочет убедиться в наличии или отсутствия того, что он предполагает у пациента.
Для самого пациента - практически никакой разницы в будущем.
Но ежели чё - лётчиком уже не стать.

Не знаю, как в России, но по общим положениям: экспертная деятельность (в т.ч. - военная экспертиза) - не является лечебной деятельностью, юридических отношений врач-больной во время медицинской экспертизы (судебно-медицинской, судебно-психиатрической, военной и т.п.) - не возникает, поэтому вывод о применимости какой-то там статьи №12 об отказе от лечения - сделайте сами.

Также не знаю современных положений России про ответственность за уклонение от призыва (в т.ч. - уклонение от прохождения обследования), времени нет искать, поинтересуйтесь сами.